求 $y''+py'+qy=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]$ 的特解.
设 $\lambda,\omega$ 均为实数, 且 $\omega\neq 0$. 证明下面的二阶常系数线性非齐次常微分方程
\[
y''+py'+qy=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]
\]
存在如下形式
\[
y_*=x^k e^{\lambda x}\bigl[h_m(x)\cos\omega x+g_m(x)\sin\omega x\bigr]
\]
的特解.
注: 这里 $P_l(x)$ 和 $P_n(x)$ 分别是 $l$ 次、$n$ 次多项式. $h_m(x)$ 和 $g_m(x)$ 是 $m$ 次多项式, $m=\max\{l,n\}$.
$k$ 取值 $1$ 或 $0$, 取决于 $\lambda+i\omega$ 是否是原微分方程相应齐次方程之特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的解.